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什么是理想的数学教育

文/木遥

十年前我在北京上大学的时候,学的专业是应用数学,因为自己既是参加过全国奥数竞赛的过来人,也因为竞赛成绩得以保送北大,于是课余时间就开了个补习班,给中小学生上奥数课来挣点零花钱。

每次上课,六七个孩子坐在前面听讲,他们的家长就坐在后排记笔记。有一年放假前夕,班上成绩最好的那个孩子的家长在下课之后把孩子遣走,然后偷偷拉住我,和我寒暄了半天后,略有一点忸怩地问我:“老师,你看,我们家孩子学数学……能学出来么?”

这个场景我一直记忆犹新,有时候想起来甚至有一点辛酸。那对家长比我年长许多,却在我面前执礼甚恭,实在是天下父母心的一个生动写照。当然,同样记忆犹新的还有我当时的困窘:我几乎不知道该怎么措辞才能婉转地向家长说明,除了有助于作为升学的敲门砖之外,孩子在我的课上所学的所有东西都对他的未来没什么影响。这一切其实本来都毫无意义。

今年8月,纽约城市大学皇后学院的政治学教授安德鲁·海克(Andrew Hacker)在《纽约时报》上发表了一篇文章《学习代数有必要吗》(Is Algebra Necessary?),他的主要观点是:作为基础教育的数学课过于艰深,远远超出大多数普通学生的需要以及能力范围,既给孩子带来额外的负担和痛苦,也和现实就业市场的要求相脱节。作为结论,他呼吁停止数学教育的“一刀切”模式。

他可能不会想到这篇文章在大洋彼岸的中国也引起了不小的反响,这恐怕是因为美国的青少年所面临的数学教育的难度和强度,和中国的同龄人相比只是小巫见大巫而已。从义务制教育大纲到形形色色的奥数培训(无论它冠以“数学提高班”、“数学兴趣小组”、“数学思维培训”还是其它什么掩耳盗铃的名目),中国的孩子们面对的挑战和压力举世罕有其匹。“鸡兔同笼”,“两列火车相向而行”,“一个龙头进水一个龙头出水”,这些在中国数学课堂里的必修内容对美国的学生们来说大概是天方夜谭吧。

看看《纽约时报》网站上这篇文章的评论可以发现,很多评论认为海克的文章本身有颇多值得指摘之处。他的基本论调之一是在大多数社会科学领域中用不到多么高深的数学,这在事实上是站不住脚的。现代数学对社会方方面面的渗透早已超越一般大众的认知,远不局限于信息产业和航天科技等等显然和数学挂钩的领域。美国政治学巨擘、哈佛大学教授、美国政治学会前主席塞缪尔·亨廷顿(Samuel Huntington)曾经因为在著作中使用了似是而非的数学工具被耶鲁大学的数学家塞尔日·朗格(Serge Lange)挑出逻辑错误,并且因为这个原因,虽然获得了美国科学院院士提名,但最终至死未能当入院士。数学早已不再是象牙塔里的学问了。

但是海克的基本思想并不因此而全盘失去价值。正如他指出的那样,无论数学有多少重要应用,大多数人还是在离开校园之后就立刻把自己学过的数学课抛诸脑后,因为那些烦冗的计算技巧、复杂的公式和琐碎的知识点与自己的职业和生活实在没什么关系。我自己在派对中同陌生人打开话题的一项惯用伎俩就是装作不经意间提到自己的数学专业,然后十有八九,对方会向我投来艳羡或者惊恐的目光,随后进行数学曾经如何在自己生活中扮演了梦魇般的角色的冗长控诉。

在中国这个问题特别尖锐,因为中国的学生要把大量的精力和时间(乃至金钱)投注在难度要高得多的层层数学考试和选拔上。数学一贯被认为是“智力的体操”,体现了“逻辑之美”,但是让我们诚实地问问自己,通过学校里的数学教育享受到这种美的训练的普通人,占到全体公众的比例有多大呢?

公允地说,在这个系统中有一小部分学生确实因此而得益。有时人们会追问中国那些在国际奥林匹克数学竞赛中获奖的金牌们的去向,他们之中确实涌现出了不少一流的年轻数学家。只不过大多资历尚浅,还未曾进入公众的视野罢了。但是对其余的绝大多数人来说,残酷的事实是他们为此牺牲了童年的运动和游戏时间,却只是在“陪太子读书”而已。

因为牵涉到巨大的产业利益链条和盘根错节的体制弊病,数学教育(无论是基础课程补习还是奥数提高课程)一直是个敏感的话题。海克在他的文章中抱怨到:“数学水平(在美国)被当成了一个徽章、一个用来给局外人留下深刻印象并提升职业地位的图腾。”在中国,它的意义还要更现实一些。几乎所有家长谈起孩子的数学教育都会怨声载道,但是这一点也不妨碍他们争先恐后地花大钱给孩子报名上各种辅导班,并且团结起来抵制教育部门对此的干预。在这种情况下,还要追问“该学什么”几乎显得有些奢侈了。

但是数学教育是个重要的问题。在这个科学技术发展日新月异的时代,它甚至是个急迫的问题。不幸的是,它也是最难被心平气和讨论的问题。

数学教育改革牵一发而动全身。其中一个明证是在2004年全国开始推行《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,也就是所谓的“数学新课标”。在2005年两会上,北京大学数学科学学院的姜伯驹院士提出提案,对其进行抨击,认为“数学新课标”取消了原本初中课程设置的《平面几何》,代之以“贴近学生熟悉的现实生活,使生活和数学融为一体”,这降低了大纲水准,“方向错误”,引起轩然大波。

在我看来,一个理想中的公众数学教育应当竭力回答这样的问题:在一个一切社会信息都以量化方式表述和处理,一切职业都需要敏锐的判断力和定量洞察力,一切公众话题(无论是金融还是医疗,食品安全还是气候变化)都必须在扎实的数据分析的基础上才能够得以有效讨论的世界上,一个平均水平的孩子应当为此做好怎样的智识上的准备和训练?怎样才能让他以一位普通公民的身份走入社会之后,不把自己在校园中接受的数学教育当成某种痛苦的回忆急切地丢在脑海深处,而是充满信心地继续成人学习,以适应这个飞速变化的数字时代?

毫无疑问,现状与此几乎南辕北辙。

说实话,当我十年前站在讲台上给那些孩子讲授“如何判断一个数是不是 9 的倍数”或者“100的阶乘末尾有几个零”的时候,我并没有想到这么多。我只能尽力让课堂气氛轻松有趣一点,让他们在应付小学和初中考试的过程中度过不太难过的一段时光。但是每次我看到他们坐在台下凝视着黑板的困惑目光时,我还是常常陷入短暂的茫然。等他们长大后,会怎样回忆起这些本来应该在运动场上奔跑的周末的下午,以及我口干舌燥地讲解的这些无穷无尽的数学题呢?

也许他们早已忘得一干二净了。

原文地址http://songshuhui.net/archives/73281

数学教育

后记:

我常常碰到有人认真地问:「数学到底有什么用处?」这问题其实一点都不难回答,我可以随口举出无数个例子来说明为什么社会的每个角落都须臾不可缺少最现代的数学工具,但是我明白为什么别人会问这个问题。因为对于他们来说,数学就是他们在大学里学过的这些习题。而这些习题对 99% 的大学生来说确实一点用都没有,甚至连「锻炼逻辑思维能力」这种最虚幻的用处也谈不上。

如果是我来编写大学数学教材,我会争取让每一个在大学里读过数学课的人都能回答这样的问题:为什么人们能精确预测几十年后的日食,却没法精确预测明天的天气;为什么人们可以通过 https 安全地浏览网页而不会被监听;为什么全球变暖的速度超过一个界限就变得不可逆了;为什么把文本文件压缩成 zip 体积会减少很多,而 mp3 文件压缩成 zip 大小却几乎不变;民生统计指标到底应该采用平均数还是中位数;当人们说两种乐器声音的音高相同而音色不同的时候到底是什么意思⋯⋯这不是什么「趣味数学」,这就是数学。基础、重要、深刻、美的数学。

在我的设想里,这才是大学基础数学教育所应该达成的任务。不是培养一个非数学专业的现代人在数学领域的专业素质(这是无论如何也不可能成功的),而是让一个人能够在非专业的前提下最大程度地掌握真正有用的现代数学知识,了解数学家们的工作怎样在各个层面上和社会产生互动,以及社会在这个领域的投资得到了怎样的回报。别的科学门类的基础教育也应当是这样。

更重要的是,任何一个接受过大学科学教育的人,无论他的职业是什么,他都应当能够明确理解下面这些事:为什么历史上一次又一次有过处于少数地位的业余科学家在不被重视的情况下做出重大贡献的事例,今天的科学界仍然在整体上排斥业余研究者的参与,并且反对社会资源被用来鼓励业余研究;既然科学结论有可能并且也在事实上曾经反复被推翻,连牛顿力学都会被爱因斯坦相对论所取代而相对论也可以继续被修正,当代科学家做出的科学断言到底在什么意义上值得相信(或者是不是根本就不值得相信);科学问题是不是和政治问题一样,并不存在所谓正确的答案,而每种立场其实都有其存在的意义和价值;当一个科学上的专业问题同时又具有政治上的巨大影响力的时候(比如全球变暖、干细胞研究或者转基因作物推广),不具有专业背景的公众到底应该具有怎样的发言权。让每个现代人在大学教育中听到科学家对这些问题的回答,应当是大学科学教育不可回避的任务。

毫无疑问,现状并不是这样。

我并没有在中国大学里教数学基础课的经历,但是就我的了解而言,情况和美国差不多。我不止一次听到别人向我描述高数课给他们带来的痛苦,我能想象也能理解这种痛苦。这不是中国或者美国的问题,而是普遍存在于时代的问题。

在科学的威力史无前例地席卷全社会的今天,科学和社会的关系也史无前例地疏远。这实在是太危险了。



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